Question

【題目】已知：△ABC是⊙O的內接三角形，且AB=BC,點D為劣弧BC上的一點,連接BD、DC.

（1）如圖1，若∠BDC＝120°，求證：△ABC是等邊三角形；

（2）如圖2，在(1)的條件下，線段CD繞點C順時針旋轉60°，得到線段CE,連接AE,求證：BD=AE；

（3）如圖3，在(2)的條件下，連接OE,若⊙O的半徑為，OE=2，求BD的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BD=3.

【解析】

（1）根據圓內接四邊形的性質和等邊三角形的判定解答即可；

（2）根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定證明即可；

（3）連接ED，利用勾股定理和直角三角形的性質解答即可．

證明：（1）∵四邊形ABDC內接于⊙O，

∴∠BDC+∠BAC=180°，

∴∠BAC=180°-∠BOA=180°-120°=60°．

∵BA=BC，

∴△ABC是等邊三角形．

（2）由（1）知△ABC是等邊三角形，

∴∠BCA=60°，

∵∠DCE=60°，

∴∠BCA=∠DCE

而∠BCA=∠BCE+∠ECA，∠DCE=∠BCD+∠BCE，

∴∠ECA=∠DCB，

∵在△CDB與△CEA中

，

∴△CDB≌△CEA（SAS）

∴DB=AE；

（3）連接ED，可知△CDE為等邊三角形，

∴∠DCE=∠DEC=∠EDC=60°，

∵∠BDC=120°

由（2）知△CDB≌△CEA，

∴∠BDC=∠AEC=120°，∠DEC+∠AEC=180°，

∴A、E、D三點在同一直線上，連接OD、OC，

，

∵OD=OC，ED=EC，

∴OE是線段DC的中垂線，

∴OE是∠DEC平分線，

設直線OE與CD的交點為G，則有∠EDG=∠DEC=30°，

∴∠OEA=∠DEG=30°，

連接OA，過點O作OH⊥AE，垂足為H，

在直角三角形OEH中，OE=2，∠OEA=30°，

∴OH=OE=1

可得EH=，

在直角三角形OAH中，OA=，OH=1，根據勾股定理，得AH=2，

∴AE=AH+HE=3，

∴BD=AE=3．