Question

【題目】在△ABC中，∠ABC＝120°，線段AC繞點C順時針旋轉60°得到線段CD，連接BD．

（1）如圖1，若AB＝BC，求證：BD平分∠ABC；

（2）如圖2，若AB＝2BC，

①求的值；

②連接AD，當S△ABC＝時，直接寫出四邊形ABCD的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）① ；② ．

【解析】

（1）連接AD，證△ACD是等邊三角形，再證△ABD≌△CBD，推出∠CBD＝∠ABD，即得出結論；

（2）①連接AD，作等邊三角形ACD的外接圓⊙O，證點B在⊙O上，在BD上截取BM，使BM＝BC，證△CBA≌△CMD，設BC＝BM＝1，則AB＝MD＝2，BD＝3，過點C作CN⊥BD于N，可求出BN＝BC＝，CN＝BC＝，ND＝BD﹣BN＝，CD＝，即可求出＝＝；

②分別過點B，D作AC的垂線，垂足分別為H，Q，設CB＝1，AB＝2，CH＝x，則由①知，AC＝，AH＝﹣x，在Rt△BCH與Rt△BAH中利用勾股定理求出BH的值，再求出DQ的值，求出＝，因為AC為△ABC與△ACD的公共底，所以＝，可求出△ACD的面積，進一步求出四邊形ABCD的面積．

（1）證明：如圖1，連接AD，

由題意知，∠ACD＝60°，CA＝CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴CD＝AD，

又∵AB＝CB，BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠CBD＝∠ABD，

∴BD平分∠ABC；

（2）解：①如圖2，連接AD，作等邊三角形ACD的外接圓⊙O，

∵∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴點B在⊙O上，

∵AD＝CD，

∴，

∴∠CBD＝∠CAD＝60°，

在BD上截取BM，使BM＝BC，

則△BCM為等邊三角形，

∴∠CMB＝60°，

∴∠CMD＝120°＝∠CBA，

又∵CB＝CM，∠BAC＝∠BDC，

∴△CBA≌△CMD（AAS），

∴MD＝AB，

設BC＝BM＝1，則AB＝MD＝2，

∴BD＝3，

過點C作CN⊥BD于N，

在Rt△BCN中，∠CBN＝60°，

∴∠BCN＝30°，

∴BN＝BC＝，CN＝BC＝，

∴ND＝BD﹣BN＝，

在Rt△CND中，

CD＝＝＝，

∴AC＝，

∴＝；

②如圖3，分別過點B，D作AC的垂線，垂足分別為H，Q，

設CB＝1，AB＝2，CH＝x，

則由①知，AC＝，AH＝-x，

在Rt△BCH與Rt△BAH中，

BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，

即1﹣x2＝22-（-x）2，

解得，x＝，

∴BH＝＝，

在Rt△ADQ中，DQ＝ AD＝×＝，

∴＝＝，

∵AC為△ABC與△ACD的公共底，

∴＝＝，

∵S△ABC＝，

∴S△ACD＝，

∴S四邊形ABCD＝＝，

故答案為：．