Question

【題目】在△ABC中，AB=AC= ， BC=2，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E。

（1）求證：E是BC的中點；
（2）連結DE，求證：△CDE∽△CBA；
（3）求△CDE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
即AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴E為BC中點.


（2）證明：四邊形是⊙O的內接四邊形，
∴∠BED+∠BAD=180°，
又∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠BAD=∠DEC，
又∵∠BCA=∠DCE，
∴△CDE∽△CBA.


（3）解：由（1）知E為BC中點，
∵BC=2，
∴CE=BE=BC=1，
由（2）知△CDE∽△CBA，
又∵AC=，
∴CE:CA=1：，
∴=，
又由（1）知即AE⊥BC，
∴AE==2，
∴S△ABC=.BC.AE=×2×2=2，
∴S△CDE=S△ABC=×2=.

【解析】（1）連接AE，由圓周角定理得出∠AED=90°，又由等腰三角形的性質得出E為BC中點.
（2）由圓的內接四邊形和鄰補角定義得出∠BAD=∠DEC，又由∠BCA=∠DCE，根據相似三角形的判定：兩個對應角相等的三角形相似即可得證.
（3）由（1）知E為BC中點，結合已知得出CE=BE=BC=1，再結合勾股定理得出AE==2，又由（2）知△CDE∽△CBA，根據相似三角形的性質得出=，由S△ABC=.BC.AE=×2×2=2，得出S△CDE=S△ABC=×2=.
【考點精析】利用三角形的面積和等腰三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的面積=1/2×底×高；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．