Question

（2005•郴州）附加題：如圖1，菱形紙片ABCD中，AB=1，∠B=60°，將紙片翻折（如圖2），使D點落在AD所在直線上，并可在直線AD上運動，折痕為EF．當＜DE＜1時，設AB與DC相交于點G（如圖）．
（1）線段AD與DG相等嗎？△ADG與△BCG的面積之和是否隨著DE的變化而變化？為什么？
（2）設AD=x，重疊部分（圖3中陰影部分）的面積為y，求出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍以及面積y的取值范圍．?

Answer 1

【答案】分析：（1）根據菱形性質，∠B=∠D=60°，又AD∥BC，不難得出△ADG為等邊三角形，故AD=DG，可證△DAG、△BCG都為等邊三角形，設AD=x，則有BC=1-x，用等邊三角形計算面積的方法求解．
（2）平行四邊形面積可以理解為S_△ADG+S_△BCG+2S_陰影部分．
解答：解：（1）AD=DG．理由如下：
∵∠D=60°，∠DAB=∠B=60°
∴△DAG為等邊三角形
∴AD=DG
△ADG與△BCG的面積和會隨DE的變化而變化
設AD=x，則有BC=1-x
∵△DAG為等邊三角形
∴△BCG也為等邊三角形
∴S_△ADG+S_△BCG=x²+（1-x）²=（2x²-2x+1）隨x的變化而變化．

（2）∵2y=2××1²-x²-（1-x）²
∴y=-x²+x+（0＜x＜1，＜y≤）．
點評：本題考查了菱形的性質，等邊三角形的面積表示方法，用割補法表示陰影部分的面積等問題．