Question

【題目】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射線BC任取一點M，聯結DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一邊DN交直線BC于點N（點N在點M的左側）．

（1）當BM的長為10時，求證：BD⊥DM；

（2）如圖（1），當點N在線段BC上時，設BN=x，BM=y，求y關于x的函數關系式，并寫出它的定義域；

（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=，0≤x＜4；（3）BN=0或1或2﹣4．

【解析】試題分析：

（1）如圖1，過點D作DG⊥BC于G，由已知易得四邊形ABGD是矩形，則BG=AD=2，DG=AB=4，由BC=5可得CG=3，由勾股定理可得CD=5，結合BM=10可得CM=BM-BC=5=BC=CD，由此可得△BDM是直角三角形，從而可得BD⊥DM；

（2）如圖1，由（1）中CD==5=BC可得∠BDC=∠DBC結合∠MDN=∠BDC即可得到∠DBC=∠MDN，再結合∠BMD=∠DMN可得△MDN∽△MBD，從而可得DM2=BM×MN結合DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，MN=BM﹣BN=y﹣x，可得16+（y﹣2）2=y（y﹣x），整理可得y=，結合點N在線段BC上可得x的取值范圍是：；

（3）分：Ⅰ、DN=DM；II、DM=MN；III、MN=DN三種情況結合已知條件和前面所得結論進行分析計算即可.

試題解析：

（1）如圖1，過點D作DG⊥BC于G，

∴∠BGD=90°，

∵∠A=90°，梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ABC=90°，

∴四邊形ABGD是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，

∵BC=5，

∴CG=BC﹣BG=3，

在Rt△CDG中，根據勾股定理得，CD=5，

∵BM=10，

∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD，

∴△BDM是直角三角形，

∴BD⊥DM；

（2）由（1）知，CD=5=BC，

∴∠BDC=∠DBC，

∵∠MDN=∠BDC，

∴∠DBC=∠MDN，

∵∠BMD=∠DMN，

∴△MDN∽△MBD，

∴，

∴DM2=BM×MN

在Rt△DMG中，根據勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，

∵MN=BM﹣BN=y﹣x，

∴16+（y﹣2）2=y（y﹣x），

∴y=，

又∵點N在線段BC上，

∴0≤x＜4；

（3）∵△DMN是等腰三角形，

∴Ⅰ、當DN=DM時，如圖1，NG=MG，

∵NG=2﹣x，MG=y﹣2，

∴2﹣x=y﹣2，

∴x+y=4②，

由（2）知，y=，

∴y（4﹣x）=20①

聯立①②，解得x=﹣﹣4（舍）或x=﹣4，

即：BN=-4，

Ⅱ、當DM=MN時，

∴∠MDN=∠DNM，

∵∠CBD=∠MDN，

∴∠CBD=∠DNM，

∴點N與點B重合，

∴BN=0，

Ⅲ、當MN=DN時，

∴∠MDN=∠DMN，

∵∠DBC=∠MDN，

∴∠DBC=∠DMN，

∴DM=BD，

在Rt△ABD中，根據勾股定理得，BD2=AD2+AB2=20，

∵DM2=16+（BM﹣2）2，

∴20=16+（BM﹣2）2，

∴BM=0（舍去）或BM=4，

∴如圖2，

點M在線段BC上，

同（2）的方法得，16+（BM﹣2）2=BM（BM﹣BN）③，

∵MN=BN+BM④，

聯立③④解得，BN=1．

即：BN=0或1或﹣4．