Question

【題目】如圖在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，線段EF交線段AD于點G．

（1）求證：AE=AF；

（2）若，求證：四邊形EBDF是平行四邊形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易證△BAD∽△DAE，由此可得，則AD2=AEAB；同理可得AD2=AFAC，從而可得AEAB=AFAC，結合AB=AC即可得到AE=AF；

（2）由（1）可得∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，結合∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，可得∠AED=∠DFC，這樣結合，可得△AED∽△CFD，由此可得∠ADE=∠CDF=∠B，則DF∥BE；由AE=AF，AB=AC可得∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，結合2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，可得∠AEF=∠B，從而可得EF∥BC；這樣即可得到所求結論了.

試題解析：

（1）∵∠ADE=∠B，∠BAD=∠EAD，

∴△BAD∽△DAE，

∴，

∴AD2=AEAB，

同法可證：AD2=AFAC，

∴AEAB=AFAC，∵AB=AC，

∴AE=AF；

（2）∵△BAD∽△DAE，

∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，

∵∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，

∴∠AED=∠DFC，

∵，

∴△AED∽△CFD，

∴∠ADE=∠CDF=∠B，

∴DF∥BE，

∵AE=AF，AB=AC，

∴∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，

∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，

∴∠AEF=∠B，

∴EF∥BC，

∴四邊形EBDF是平行四邊形．