Question

【題目】如圖1，已知直線y=kx與拋物線y= 交于點A（3，6）．

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；
（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數分別是1個、2個？

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=

（2）

解：方法一：

是一個定值，理由如下：

如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H．

①當QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，

此時 =tan∠AOM=2；

②當QH與QM不重合時，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨設點H，G分別在x、y軸的正半軸上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…，

∴ =tan∠AOM=2，

當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得 =2

方法二：

過點Q分別作y軸，x軸垂線，垂足分別為G，H，

∵QN⊥QM，∴∠NQH+∠HQM=90°，

∵QG⊥QH，∴∠NQH+∠GQN=90°，

∴∠HQM=∠GQN，

∵∠QGN=∠QHM=90°，

∴△QGN∽△QHM，

∴QM：QN=2：1

（3）

解：方法一：如答圖2，

延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC= OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴ ，

∴OF= ，

∴點F（ ，0），

設點B（x，﹣ ），

過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF，

∴ ，

即 ，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴點B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5；

（求AB也可采用下面的方法）

設直線AF為y=kx+b（k≠0）把點A（3，6），點F（ ，0）代入得

k=﹣ ，b=10，

∴y=﹣ x+10，

∴ ，

∴ （舍去）， ，

∴B（6，2），

∴AB=5

（其它方法求出AB的長酌情給分）

在△ABE與△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED．

設OE=a，則AE=3 ﹣a（0＜a＜3 ），

由△ABE∽△OED得 ，

∴ = ，

∴m= a（3 ﹣a）=﹣ a2+ a（0＜a＜3 ），

∴頂點為（ ， ）

如答圖3，

當m= 時，OE=a= ，此時E點有1個；

當0＜m＜ 時，任取一個m的值都對應著兩個a值，此時E點有2個．

∴當m= 時，E點只有1個

當0＜m＜ 時，E點有2個

方法二：

延長AB交x軸于F，過點F作FC⊥OA于點C．

∵∠BAE=∠AOD，

∴OF=AF，

∵FC⊥OA，

∴C為OA中點，

∵O（0，0），A（3，6），

∴C（ ，3），

KOA=2，

∵KOA×KPC=﹣1，

∴KPC=﹣ ，

∴lFC：y=﹣ x+ ，

當y=0時，x= ，即F（ ，0），

∴lAF：y=﹣ x+10，

∴ x1=3（舍），x2=6，

∴B（6，2），AB=5，

∵D（m，0），OD=m，

設AE=a，OE=3 ﹣a，

∠OED=∠ABE，

∴△ABE∽△OED，

∴ ，

∴ ，

∴a2﹣ a+5m=0，

∵E只有一個，

∴△=45﹣20m=0，

∴m= ，

∵E只有兩個，

∴△=45﹣20m＞0，

即0＜m＜ 時，E有兩個

【解析】（1）利用待定系數法求出直線y=kx的解析式，根據A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度；（2）如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H，構造相似三角形△QHM與△QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉化為相似三角形的相似比，即 =tan∠AOM=2為定值．需要注意討論點的位置不同時，這個結論依然成立；（3）由已知條件角的相等關系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．設OE=a，則由相似邊的比例關系可以得到m關于x的表達式m=﹣ a2+ a（0＜a＜3 ），這是一個二次函數．借助此二次函數圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時，a的取值（即OE的長度，或E點的位置）有1個或2個．這樣就將所求解的問題轉化為分析二次函數的圖象與性質問題．另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運用線段比例關系之前需要首先求出AB的長度．如答圖2，可以通過構造相似三角形，或者利用一次函數（直線）的性質求得AB的長度．