Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+ x+2與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．點P是線段BC上的動點（點P不與B，C重合），連接并延長AP交拋物線于另一點Q，設點Q的橫坐標為x．

（1）①寫出點A，B，C的坐標：A（），B（），C（）；
②求證：△ABC是直角三角形；
（2）記△BCQ的面積為S，求S關于x的函數表達式；
（3）在點P的運動過程中， 是否存在最大值？若存在，求出 的最大值及點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）﹣1，0；4，0；0，2
（2）

解：連接OQ，如圖1所示．

設點Q的坐標為（x，﹣ x2+ x+2），

∴S=S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC= ×2x+ ×4（﹣ x2+ x+2）﹣ ×2×4=﹣x2+4x．

（3）

解：過點Q作QH⊥BC于H，如圖2所示．

∵∠ACP=∠QHP=90°，∠APC=∠QPH，

∴△APC∽△QPH，

∴ = ．

∵S△BCQ= BCQH= OH，

∴QH= ，

∴ = = （﹣x2+4x）=﹣ （x﹣2）2+ ，

∴當x=2時， 取最大值，最大值為 ，此時點Q的坐標為（2，3）．

【解析】解：（1）①當x=0時，y=﹣ x2+ x+2=2，
∴點C（0，2）．
當y=﹣ x2+ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/08/15/11/610d3a99/SYS201708151152513446683969_DA/SYS201708151152513446683969_DA.003.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> x+2=0時，有x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
所以答案是：﹣1，0；4，0；0，2．
②證明：∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB=5，AC= ，BC=2 ，
∴AB2=25=AC2+BC2 ，
∴△ABC是直角三角形．