Question

【題目】如圖O為坐標原點，四邊形ABCD是菱形，A(4，4)，B點在第二象限，AB＝5，AB與y軸交于點F，對角線AC交y軸于點E

(1)直接寫出B、C點的坐標；

(2)動點P從C點出發以每秒1個單位的速度沿折線段C﹣D﹣A運動，設運動時間為t秒，請用含t的代數式表示△EDP的面積；

(3)在(2)的條件下，是否存在一點P，使△APE沿其一邊翻折構成的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出當t為多少秒時存在符合條件的點P；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)B(-1，4)，C(-4，0)；見解析；(3)或7.5.

【解析】

（1）過A作AG⊥x軸于G，根據A點坐標可得AF、AG的長，即可求出BF的長，利用勾股定理可求出DG的長，進而可得OD的長，即可求出OC的長，根據B點在第二象限即可得出B、C兩點坐標；（2）根據A、C坐標，利用待定系數法可求出直線AC的解析式，即可求出E點坐標，可得OE=OF，根據菱形的性質可得∠FAE=∠DAE，利用AAS可證明△AEF≌△AEH，可得EH=EF，分別討論點P在CD、DA邊時，利用三角形面積公式表示出△EDP的面積即可；（3）分別討論沿PA、PE、AE翻折時，點P的位置，畫出圖形即可得答案.

（1）如圖，過A作AG⊥x軸于G，

∵A（4，4），四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=CD=5，AG=OG=4，AG=4，

∴BF=AB-AF=1，DG==3，

∴OD=OG-DG=1，

∴OC=CD-OD=4，

∵點B在第二象限，

∴B（-1，4），C（-4，0）

（2）如圖，連接DE，過E作EH⊥AD于H，

設AC解析式為y=kx+b，

∵A（4，4），C（-4，0），

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=x+2，

當x=0時，y=2，

∴E（0，2），

∴EF=OE=2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠FAE=∠DAE，

又∵AE=AE，∠AFE=∠AHE=90°，

∴△AEF≌△AEH，

∴EH=EF=2，

∵t=5時，D與P重合，不構成三角形，

∴t≠5，

∴當點P在CD邊運動時，即0≤t<5時，S△EDP=DP1×OE=（5-t）×2=5-t，

當點P在DA邊運動時，即5<t≤10時，S△EDP=DP2×EH=（t-5）×2=t-5.

(3)當沿AP邊翻折時，AE=CE，則P點與C點重合，

∴APE三點在一條直線上，故不符合題意.

如圖，當沿PE翻折時，AE=AP，

∵AF=4，EF=2，

∴AE==，

∴AP=，

∴t=10-,

如圖，當沿AE翻折時，設PA=AP′=EP′=x，

∵四邊形ABCD是菱形，點P在AD上，

∴點P的對稱點P′在AB邊上，

∴在Rt△EFP′中，x2=22+(4-x)2，

解得：x=2.5，

∴t=10-2.5=7.5.

綜上所述：當t為10-秒或7.5秒時存在符合條件的點P.