Question

如圖，AB為的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點(不與A，B重合)，過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q．
(1)在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由．
(2)若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長．

Answer 1

（1）CD與⊙O相切．證明見解析；（2）QC= ．

試題分析：（1）連結OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據余弦的定義得cosB，可計算出BC，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB，可計算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC進行計算即可．
試題解析：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結OC，如圖，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；
（2）連接AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB=，
而BP=6，AP=1，
∴BC=，
在Rt△BPQ中，cosB=，
∴BQ=10，
∴QC=BQ﹣BC=10﹣=．
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