Question

23、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如圖所示），∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE．
（1）在下圖中，用尺規作∠BAD的平分線AE（保留作圖痕跡不寫作法），并證明四邊形ABED是菱形．
（2）若∠ABC=60°，EC=2BE．求證：ED⊥DC．

Answer 1

分析：（1）根據尺規作圖：角的平分線的基本做法，可得到∠BAD的平分線AE；利用菱形的判定定理，即可證得；
（2）根據直角三角形的性質定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC；

解答：證明：（1）梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又AB=AD，
∴四邊形ABED是菱形；
（2）∵四邊形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=60°，BE=ED，
又EC=2BE，
∴EC=2DE，
∴∠C=30°，
∴△DEC是直角三角形，
∴ED⊥DC．

點評：本題考查了尺規作圖及菱形、直角三角形的性質及判定，綜合性較強，鍛煉了學生的動手、動腦的能力．