Question

【題目】如圖，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，點A在CB的延長線上，且BA＝BC，點E在直線BD上移動，過點E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點F．

（1）試求證圖（1）中：∠BAE＝∠DEF；

（2）當點E在線段BD上移動時，如圖（1）所示，求證：AE＝EF；

（3）當點E在直線BD上移動時，在圖（2）與圖（3）中，分別猜想線段AE與EF有怎樣的數量關系，并就圖（3）的猜想結果說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE＝EF，理由見解析.

【解析】

(1)由∠AEB+∠A＝90°和∠AEB+∠FED＝90°即可得到結論.
(2)如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE.構造全等三角形即可解決問題；
(3)如圖2中，在BC上截取BH=BE，同法可證；如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE.同法可證.

（1）證明：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，點A在CB的延長線上，

∴∠ABD＝90°，

∴∠AEB+∠A＝90°，

∵EF⊥EA，

∴∠AEB+∠FED＝90°，

∴∠BAE＝∠DEF；

（2）證明：如圖1中，在BA上截取BH，使得BH＝BE．

∵BC＝AB＝BD，BE＝BH，

∴AH＝ED，

∵∠AEF＝∠ABE＝90°，

∴∠AEB+∠FED＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠FED＝∠HAE，

∵∠BHE＝∠CDB＝45°，

∴∠AHE＝∠EDF＝135°，

∴△AHE≌△EDF（AAS），

∴AE＝EF．

（3）解：如圖2中，在BC上截取BH＝BE，同法可證：AE＝EF，

如圖3中，延長BA至點H，使得BH＝BE．同法可證：AE＝EF．