Question

如圖1，已知正方形ABCD，把一個直角與正方形疊合，使直角頂點與一重合，當直角的一邊與BC相交于E點，另一邊與CD的延長線相交于F點時．

（1）證明：BE=DF；

（2）如圖2，作∠EAF的平分線交CD于G點，連接EG．證明：BE＋DG=EG；

（3）如圖3，將圖1中的“直角”改為“∠EAF=45°”，當∠EAF的一邊與BC的延長線相交于E點，另一邊與CD的延長線相交于F點，連接EF．線段BE，DF和EF之間有怎樣的數量關系？并加以證明．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BE=DF+EF.證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據題中所給條件證明△ABE≌△ADF即可．

（2）結合（1）中已證得的條件應證明EG=FG，證明△AEG≌△AFG即可．

（3）如圖，過點A作AG⊥AE，交BC于點G，通過證明△AEG≌△AEF即可證明BE=DF+EF.

試題解析：（1）∵∠BAE=∠DAF，AB=AD，∠B=∠ADF=90°，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，BE=DF．

（2）∵AG為∠EAF的角平分線，

∴∠EAG=∠FAG，

又∵AE=AF，AG=AG，

∴△AEG≌△AFG，

∴EG=FG，

∵FG=DG+FD，

∴EG=BE+DG．

（3）如圖：

過點A作AG⊥AE，交BC于點G

由（1）可知：△ABG≌△ADF

∴AG=AF，BG=DF

∵AG⊥AF，∠EAF=45°

∴∠GAE=∠EAF=45°

∵AG=AF，AE=AE

∴△AEG≌△AEF

∴EG=EF

∵BE=BG+GE

∴BE=DF+EF.

考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質