Question

【題目】如圖，在正方形中，是等邊三角形，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論，

①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④，

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用等邊三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)得出∠DHP=∠BHC=75°，進(jìn)而得出答案；
③利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案；
④根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，結(jié)合圖形得到△BPD的面積=△BCP的面積+△CDP面積-△BCD的面積，得出答案．

∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE與△CDF中，，
∴△ABE≌△DCF，故①正確；

∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=18075°，
∴PD=DH，
∴△DPH是等腰三角形，故②正確；
設(shè)PF=x，PC=y，則DC=AB=PC=y，
∵∠FCD=30°，

∴即，

整理得：

解得：，

則，故③正確；

如圖，過(guò)P作PM⊥CD，PN⊥BC，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，

∵△BPC為正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°，

∴，

，
S△BPD=S四邊形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD

，

∴，故④正確；

故正確的有4個(gè)，
故選：A．