Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的“衍生直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“衍生三角形”．已知拋物線與其“衍生直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C．

（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ，點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；

（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點N的坐標；

（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；

（2）N點的坐標為（0，），（0，）；

（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）

【解析】

（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數解析式的a即可；（2）過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN=AC，結合A點坐標，則可求出ON的長，可求出N點的坐標；（3）分別討論當AC為平行四邊形的邊時，當AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的E、F坐標即可

（1）∵，a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式為；

聯立兩解析式求交點，解得或，

∴A（-2，），B（1,0）；

（2）如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，

在中，令y=0可求得x= -3或x=1，

∴C（-3,0），且A（-2，），

∴AC=

由翻折的性質可知AN=AC=，

∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，

∴N在y軸上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得

DN=，

∵OD=，

∴ON=或ON=，

∴N點的坐標為（0，），（0，）；

（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ ACK=∠ EFH，

在△ ACK和△ EFH中

∴△ ACK≌△ EFH，

∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵拋物線的對稱軸為x=-1，

∴ F點的橫坐標為0或-2，

∵點F在直線AB上，

∴當F點的橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，

∴E到y軸的距離為EH-OF=-=，即E的縱坐標為-，

∴ E（-1，-）；

當F點的橫坐標為-2時，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當AC為平行四邊形的對角線時，

∵ C（-3,0），且A（-2，），

∴線段AC的中點坐標為（-2.5， ），

設E（-1，t），F（x，y），

則x-1=2×（-2.5），y+t=，

∴x= -4，y=-t，

-t=-×（-4）+，解得t=，

∴E（-1，），F（-4，）；

綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）