Question

【題目】對于⊙C與⊙C上的一點A，若平面內的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q（點Q可以與點P重合），且，則點P稱為點A關于⊙C的“生長點”．

已知點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（-1，0）．

（1）若點P是點A關于⊙O的“生長點”，且點P在x軸上，請寫出一個符合條件的點P的坐標________；

（2）若點B是點A關于⊙O的“生長點”，且滿足，求點B的縱坐標t的取值范圍；

（3）直線與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在點A關于⊙O的“生長點”，直接寫出b的取值范圍是_____________________________．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）或；（3）或．

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，在x軸上找點P是比較簡單的，這樣的P點不是唯一的，如點（2，0）、（1，0）等；

（2）如圖1，在x軸上方作射線AM交⊙O于點M，使tan∠MAO=，并在射線AM是取點N，使MN=AM，則由題意可知，線段MN上的點都是符合條件的B點，過點M作MH⊥x軸于點H，連接MC，結合已知條件求出點M和點N的縱坐標即可得到所求B點的縱坐標t的取值范圍；根據對稱性，在x軸的下方得到線段M′N′，同理可求得滿足條件的B點的縱坐標t的另一取值范圍；

（3）如圖2，3，由與x軸交于點M，與y軸交于點N，可得點M的坐標為，點N的坐標為，由此結合∠OMN的正切函數可求得∠OMN=60°；

以點D（1，0）為圓心，2為半徑作圓⊙D，則⊙D和⊙O相切于點A，由題意可知，點A關于⊙O的“生長點”都在⊙O到⊙D之間的平面內，包括兩個圓（但點A除外）.

然后結合題意和∠OMN=60°分b>0和b<0兩種情況在圖2和圖3中求出ON1和ON2的長即可得到b的取值范圍了.

試題解析：

（1）由題意可知，在x軸上找點P是比較簡單的，這樣的P點不是唯一的，如點（2，0）、（1，0）等；

（2）如圖1，在x軸上方作射線AM，與⊙O交于M，且使得，并在AM上取點N，使AM=MN，并由對稱性，將MN關于x軸對稱，得，則由題意，線段MN和上的點是滿足條件的點B.

作MH⊥x軸于H，連接MC，

∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.

∵ AC是⊙O的直徑，

∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.

∴ ∠OAM=∠HMC.

∴.

∴.

設，則， ，

∴，解得，即點M的縱坐標為.

又由，A為（-1，0），可得點N的縱坐標為，

故在線段MN上，點B的縱坐標t滿足： .

由對稱性，在線段上，點B的縱坐標t滿足： .

∴ 點B的縱坐標t的取值范圍是或.

（3）如圖2，以點D（1，0）為圓心，2為半徑作圓⊙D，則⊙D和⊙O相切于點A，由題意可知，點A關于⊙O的“生長點”都在⊙O到⊙D之間的平面內，包括兩個圓（但點A除外）.

∵直線與x軸交于點M，與y軸交于點N，

∴點M的坐標為，點N的坐標為，

∴tan∠OMN=，

∴∠OMN=60°，

要在線段MN上找點A關于⊙O的“生長點”，現分“b>0”和“b<0”兩種情況討論：

I、①當直線過點N1（0，1）時，線段MN上有點A關于⊙O的唯一“生長點”N1，此時b=1；

②當直線與⊙D相切于點B時，線段MN上有點A關于⊙O的唯一“生長點”B，此時直線與y軸相交于點N2，與x軸相交于點M2，連接DB，則DB=2span>，

∴DM2=，

∴OM2=，

∴ON2=tan60°·OM2=，此時b=.

綜合①②可得，當b>0時，若線段MN上存在點A關于⊙O的“生長點”，則b的取值范圍為： ；

II、當b<0時，如圖3，同理可得若線段MN上存在點A關于⊙O的“生長點”，則b的取值范圍為： ；

綜上所述，若在線段MN上存在點A關于⊙O的“生長點”，則b的取值范圍為： 或.