Question

（2012•萊蕪）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分別是BA、BC的中點，則下列結論不正確的是（　　）

• A．△ABC是等腰三角形
• B．四邊形EFAM是菱形
• C．S_△BEF=

  1

  2

  S_△ACD
• D．DE平分∠CDF

Answer 1

分析：連接AE，由E為BC的中點，得到BE=CE，再由BC=2AD，可得出AD=BE=CE，再由AD與BC平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得出四邊形ABED與四邊形AECD都為平行四邊形，再由∠BCD=90°，利用有一個角為直角的平行四邊形是矩形得出四邊形AECD為矩形，利用矩形的四個角為直角可得出AE垂直于BC，得到AE垂直平分BC，利用線段垂直平分線定理得到AB=AC，即△ABC為等腰三角形，故選項A正確，不合題意；
由EF為△ABC的中位線，利用中位線定理得到EF平行于AC，且等于AC的一半，進而得到四邊形AFEM為平行四邊形，再由AF等于AB的一半，即為AC的一半，得到鄰邊AF=EF，可得出四邊形AFEM為菱形，選項B正確，不合題意；
過F作FN垂直于BC，可得出FN與AE平行，由F為AB的中點，得到N為BE的中點，即FN為△ABE的中位線，得到FN等于AE的一半，即為DC的一半，再由BE=AD，可得出△BEF與△ADC底相等，高FN為CD的一半，可得出△BEF的面積為△ADC面積的一半，選項C正確，不合題意；
而DE不一定為角平分線，選項D錯誤，符合題意．

解答：解：連接AE，如右圖所示，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE=

1

2

BC，又BC=2AD，
∴AD=BE=EC，又AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形，四邊形AECD為平行四邊形，
又∵∠DCB=90°，
∴四邊形AECD為矩形，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形，
故選項A不合題意；
∵E為BC的中點，F為AB的中點，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，
又∵四邊形ABED為平行四邊形，
∴AF∥ME，
∴四邊形AFEM為平行四邊形，
又∵AF=

1

2

AB=

1

2

AC=EF，
∴四邊形AFEM為菱形，
故選項B不合題意；
過F作FN⊥BC于N點，可得FN∥AE，
又∵F為AB的中點，
∴N為BE的中點，
∴FN為△ABE的中位線，
∴FN=

1

2

AE，
又∵AE=DC，BE=AD，
∴S_△BEF=

1

2

S_△ACD，
故選項C不合題意；
DE不一定平分∠CDF，
故選項D符合題意．
故選D．

點評：此題考查了直角梯形的性質，涉及的知識有：矩形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，三角形的中位線定理，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．