Question

（2012•萊蕪）如圖，在菱形ABCD中，AB=2

3

，∠A=60°，以點D為圓心的⊙D與邊AB相切于點E．
（1）求證：⊙D與邊BC也相切；
（2）設⊙D與BD相交于點H，與邊CD相交于點F，連接HF，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）；
（3）⊙D上一動點M從點F出發，按逆時針方向運動半周，當S_△HDF=

3

S_△MDF時，求動點M經過的弧長（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）過D作DQ⊥BC于Q，連接DE，根據切線性質得出DE⊥AB，根據菱形性質求出BD平分∠ABC，根據角平分線性質得出DE=DQ，根據切線判定推出即可；
（2）根據菱形性質和等邊三角形判定得出等邊三角形ADB，求出DE值，即可得出圓的半徑長，得出等邊三角形DCB和等邊三角形DHF，求出△DFH的高FN，求出△DFH的面積和扇形FDH的面積，相減即可得出答案；
（3）根據△FDH的面積和已知求出△MDF邊DF上的高MZ，求出∠MDF，同理得出另一點M′也符合，且圓心角是150°，根據弧長公式求出即可．

解答：（1）證明：過D作DQ⊥BC于Q，連接DE，
∵⊙D切AB于E，
∴DE⊥AB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∴DE=DQ（角平分線性質），
∵DQ⊥BC，
∴⊙D與邊BC也相切；

（2）解：過F作FN⊥DH于N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2

3

，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠DBA=60°，DC∥AB，AD=BD=AB=2

3

∵DE⊥AB，
∴AE=BE=

3

，
由勾股定理得：DE=3=DH=DF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=60°，DC=BC，
∴△DCB是等邊三角形，
∴∠CDB=60°，
∵DF=DH，
∴△DFH是等邊三角形，
∵FN⊥DH，
∴DN=NH=

3

2

，
由勾股定理得：FN=

3 3

2

，
∴S_陰影=S_扇形FDH-S_△FDH=

60π×32

360

-

1

2

×3×

3 3

2

=

3

2

π-

9 3

4

；

（3）解：過M作MZ⊥DF于Z，
∵由（2）知：S_△HDF=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，DF=3，
又∵S_△HDF=

3

S_△DFM，
∴

9 3

4

=

3

×

1

2

×3×MZ，
∴MZ=

3

2

，
在Rt△DMZ中，sin∠MDZ=

MZ

DM

=

1

2

，
∴∠MDZ=30°，
同理還有另一點M′也符合，此時MM′∥CD，∠M′DC=180°-30°=150°，
∴弧MF的長是

30π×3

180

=

1

2

π；
弧FM′的長是

150π×3

180

=

5

2

π．
答：動點M經過的弧長是

1

2

π或

5

2

π．

點評：本題考查的知識點是三角形的面積，等邊三角形的性質和判定，勾股定理，菱形的性質，扇形的面積，銳角三角函數的定義，弧長公式等，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，難度偏大．