Question

【題目】如圖，矩形中，點，分別在，上，且，連接，，，且平分，，連接交于點，則線段的長為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

延長AD、BF交于點H，作EQ⊥BH，根據AD∥BC，平分，證明△EBH是等腰三角形，然后根據平行線分線段成比例定理求出，設BF=4x，求出BQ=QH=3x，QF=x，根據等角的三角函數值相等可得，求出BC=6，然后利用勾股定理分別求出BF、EF、ED和CE，作CM⊥BF于M，利用等積法求得CM，根據△EQG∽△CMG列出比例式，得到，求出即可解決問題.

解：延長AD、BF交于點H，作EQ⊥BH，

∵AD∥BC，平分，

∴∠H=∠HBC，∠EBH=∠HBC，

∴∠H=∠EBH，

∴EB=EH，即△EBH是等腰三角形，

∵AD∥BC，

∴，

∴設BF=4x，則FH=2x，

∴BQ=QH=3x，QF=x，

∵，

∴EQ= QF=x，

∴tan∠H＝，

∴tan∠FBC＝，

∴BC=6，

∴BF=，

∴EQ=QF=，

∴EF=，

∴ED=，

∴CE=，

作CM⊥BF于M，則，

∴，

∵∠EQG＝∠CMG，∠EGQ=∠CGM，

∴△EQG∽△CMG，

∴，

∴，

∴，

故答案為：.