Question

【題目】如圖1，在平面直徑坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣3，0）．B（1，0），與y軸交于點C

（1）直接寫出拋物線的函數解析式；
（2）以OC為半徑的⊙O與y軸的正半軸交于點E，若弦CD過AB的中點M，試求出DC的長；
（3）將拋物線向上平移 個單位長度（如圖2）若動點P（x，y）在平移后的拋物線上，且點P在第三象限，請求出△PDE的面積關于x的函數關系式，并寫出△PDE面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，

得： ，解得： ，

∴拋物線的函數解析式為y= x2+ x﹣2

（2）

解：令y= x2+ x﹣2中x=0，則y=﹣2，

∴C（0，﹣2），

∴OC=2，CE=4．

∵A（﹣3，0），B（1，0），點M為線段AB的中點，

∴M（﹣1，0），

∴CM= = ．

∵CE為⊙O的直徑，

∴∠CDE=90°，

∴△COM∽△CDE，

∴ ，

∴DC= ．

（3）

解：將拋物線向上平移 個單位長度后的解析式為y= x2+ x﹣2+ = x2+ x﹣ ，

令y= x2+ x﹣ 中y=0，即 x2+ x﹣ =0，

解得：x1= ，x2= ．

∵點P在第三象限，

∴ ＜x＜0．

過點P作PP′⊥y軸于點P′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，如圖所示．

（方法一）：在Rt△CDE中，CD= ，CE=4，

∴DE= = ，sin∠DCE= = ，

在Rt△CDD′中，CD= ，∠CD′D=90°，

∴DD′=CDsin∠DCE= ，CD′= = ，

∴OD′=CD′﹣OC= ，

∴D（﹣ ， ），D′（0， ）．

∵P（x， x2+ x﹣ ），

∴P′（0， x2+ x﹣ ）．

∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′= DD′ED′+ （DD′+PP′）D′P′﹣ PP′EP′=﹣ ﹣ x+2（ ＜x＜0），

∵S△PDE=﹣ ﹣ x+2=﹣ + ， ＜﹣ ＜0，

∴當x=﹣ 時，S△PDE取最大值，最大值為 ．

故：△PDE的面積關于x的函數關系式為S△PDE=﹣ ﹣ x+2（ ＜x＜0），且△PDE面積的最大值為 ．

（方法二）：在Rt△CDE中，CD= ，CE=4，

∴DE= = ，

∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD，

∴△CDE∽△CD′D，

∴ = ，

∴DD′= ，CD′= ，

∴∴OD′=CD′﹣OC= ，

∴D（﹣ ， ），D′（0， ）．

∵P（x， x2+ x﹣ ），

∴P′（0， x2+ x﹣ ）．

∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′= DD′ED′+ （DD′+PP′）D′P′﹣ PP′EP′=﹣ ﹣ x+2（ ＜x＜0），

∵S△PDE=﹣ ﹣ x+2=﹣ + ， ＜﹣ ＜0，

∴當x=﹣ 時，S△PDE取最大值，最大值為 ．

故：△PDE的面積關于x的函數關系式為S△PDE=﹣ ﹣ x+2（ ＜x＜0），且△PDE面積的最大值為 ．

【解析】（1）由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）令拋物線解析式中x=0求出點C的坐標，根據點A、B的坐標即可求出其中點M的坐標，由此即可得出CM的長，根據圓中直徑對的圓周角為90°即可得出△COM∽△CDE，根據相似三角形的性質即可得出 ，代入數據即可求出DC的長度；（3）根據平移的性質求出平移后的拋物線的解析式，令其y=0，求出平移后的拋物線與x軸的交點坐標，由此即可得出點P橫坐標的范圍，再過點P作PP′⊥y軸于點P′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，通過分割圖形求面積法找出S△PDE關于x的函數關系式，利用配方結合而成函數的性質即可得出△PDE面積的最大值．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．