Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）

解：設點M的坐標為（m，m2﹣4m+3），設直線BC的解析式為y=kx+3，

把點點B（3，0）代入y=kx+3中，

得：0=3k+3，解得：k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵MN∥y軸，

∴點N的坐標為（m，﹣m+3）．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為x=2，

∴點（1，0）在拋物線的圖象上，

∴1＜m＜3．

∵線段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣ + ，

∴當m= 時，線段MN取最大值，最大值為 ．

（3）

解：假設存在．設點P的坐標為（2，n）．

當m= 時，點N的坐標為（ ， ），

∴PB= = ，PN= ，BN= = ．

△PBN為等腰三角形分三種情況：

①當PB=PN時，即 = ，

解得：n= ，

此時點P的坐標為（2， ）；

②當PB=BN時，即 = ，

解得：n=± ，

此時點P的坐標為（2，﹣ ）或（2， ）；

③當PN=BN時，即 = ，

解得：n= ，

此時點P的坐標為（2， ）或（2， ）．

綜上可知：在拋物線的對稱軸l上存在點P，使△PBN是等腰三角形，點的坐標為（2， ）、（2，﹣ ）、（2， ）、（2， ）或（2， ）．

【解析】（1）由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設出點M的坐標以及直線BC的解析式，由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，結合點M的坐標即可得出點N的坐標，由此即可得出線段MN的長度關于m的函數關系式，再結合點M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（3）假設存在，設出點P的坐標為（2，n），結合（2）的結論可求出點N的坐標，結合點N、B的坐標利用兩點間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度，根據等腰三角形的性質分類討論即可求出n值，從而得出點P的坐標．
【考點精析】掌握二次函數的性質和兩點間的距離是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．