Question

【題目】若一個三位數(shù)，其個位數(shù)加上十位數(shù)等于百位數(shù)，可表示為t=100（x+y）+10y+x，則稱實數(shù)t為“加成數(shù)”，將t的百位作為個位，個位作為十位，十位作為百位，組成一個新的三位數(shù)h．規(guī)定q=t﹣h，f（m）=，例如：321是一個“加成數(shù)”，將其百位作為個位，個位作為十位，十位作為百位，得到的數(shù)h=213，∴q=321﹣213=108，f（m）==12．

（1）當(dāng)f（m）最小時，求此時對應(yīng)的“加成數(shù)”的值；

（2）若f（m）是24的倍數(shù)，則稱f（m）是“節(jié)氣數(shù)”，猜想這樣的“節(jié)氣數(shù)”有多少個，并求出所有的“節(jié)氣數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x=0，y=1時，q小=9，此時對應(yīng)的“加成數(shù)”是110；（2）這樣的“節(jié)氣數(shù)”有4個，分別為24，72．

【解析】

（1）根據(jù)新定義，由求f（m）最小值，可知就是求q的最小值，根據(jù)定義表示q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，可得結(jié)論；

（2）根據(jù)f（m）是24的倍數(shù)，f（m）=24n（n為正整數(shù)），得q=216n，由（1）中q=9y+90x，列方程，解方程可得結(jié)論．

（1）∵f（m）=，

∴當(dāng)f（m）最小時，q最小，

∵t=100（x+y）+10y+x，h=100y+10x+x+y=101y+11x，

∴q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y為正整數(shù)，

當(dāng)x=0，y=1時，q小=9，此時對應(yīng)的“加成數(shù)”是110；

（2）∵f（m）是24的倍數(shù)，

設(shè)f（m）=24n（n為正整數(shù)），

則24n=，q=216n，

由（1）知：q=9y+90x=9（y+10x），

∴216n=9（y+10x），

24n=y+10x，

①當(dāng)n=1時，即y+10x=24，解得：x=2，y=4，則這樣的“節(jié)氣數(shù)”是24；

②當(dāng)n=2時，即y+10x=48，解得：x=4，y=8，則這樣的“節(jié)氣數(shù)”是48；此時百位上的數(shù)為12，舍去.

③當(dāng)n=3時，即y+10x=72，解得：x=7，y=2，則這樣的“節(jié)氣數(shù)”是72；

①當(dāng)n=4時，即y+10x=96，解得：x=9，y=6，則這樣的“節(jié)氣數(shù)”是96；此時百位上的數(shù)為15，舍去.

①當(dāng)n=5時，即y+10x=120，沒有符合條件的整數(shù)解，

綜上，這樣的“節(jié)氣數(shù)”有4個，分別為24， 72．