Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C = 90°，∠BAC 的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心、OA長為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F．

(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)若OA = 2，∠B = 30°，求涂色部分的面積(結果保留和根號)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)S陰影=.

【解析】

（1）連接OD，證明OD⊥BC即可;

（2）陰影部分面積可用直角三角形OBD面積減去扇形ODF面積.

(1)證明：連接OD，如圖所示：

∵AD平分∠BAC

∴∠OAD=∠CAD

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD =∠ODA

∴OD∥AC

∴∠C=∠ODB

∵∠C= 90°

∴∠ODB= 90°

∴OD⊥BC

∴直線BC與⊙O相切

(2)解：∵OA= OD，OA = 2

∴ OD = 2

在Rt△ABC中，OD＝2，∠B = 30°

∴OB= 4，∠ODB=60°

由勾股定理得：BD＝

∴S△OBD==

S扇ODF=，

∴S陰影=.