Question

【題目】如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CD是⊙O切線，D在AB的延長線上，作AE⊥CD于E．

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半徑；

（3）請探索：線段AD，BD，CD之間有何數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑是2；（3）CD2=BDAD，證明詳見解析

【解析】

（1）連接OC，由CD是⊙O切線得到OC⊥CD，根據平行線的性質得到∠EAC=∠ACO，由等腰三角形的性質得到∠CAO=∠ACO，于是得到結論；

（2）連接BC，由三角函數的定義得到sin∠CAE=，得到∠CAE=30°，于是可得∠CAB=∠CAE=30°，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，解直角三角形即可求解；

（3）根據余角的性質得到∠DCB=∠ACO，再得到△BCD∽△CAD，根據相似三角形的性質即可求解．

（1）證明：連接OC，

∵CD是⊙O切線，

∴OC⊥CD，

∵AE⊥CD，

∴OC∥AE，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠EAC=∠A=CAO，

即AC平分∠BAE；

（2）解：連接BC，

∵AE⊥CE，AC=2CE=6，

∴sin∠CAE=，

∴∠CAE=30°，

∴∠CAB=∠CAE=30°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴cos∠CAB=

，

∴AB=4，

∴⊙O的半徑是2；

（3）CD2=BDAD，

證明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠DCB=∠ACO，

∴∠DCB=∠ACO=∠CAD，

∵∠D=∠D，

∴△BCD∽△CAD，

∴，

即CD2=BDAD．