Question

（本題8分）已知關(guān)于的方程的兩實根為，且．
⑴試用含有的代數(shù)式表示和；
⑵求證：；
⑶若以為坐標的點在△ABC的三邊上運動，且△ABC頂點的坐標分別為A，B，C，問是否存在點M，使，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），
（2）略
（3）M存在，M；

分析：
（1）因為原方程有兩個相等的實數(shù)根，故判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）因為α≤β，故只需求（1-a）（1-β）≤0即可；
（3）先根據(jù)條件確定動點所在的邊，再確定點的坐標。
解答：
（1）∵α、β為方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的兩個實數(shù)根，
∴判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，
且α+β=p+q+1，αβ=p，
于是p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，
∴a≤1≤β；
（3）若使p+q=5/4
成立，只需α+β=p+q+1=9/4，
①當點M（α，β）在BC邊上運動時，
由B（1/2，1），C（1，1），
得1/2≤α≤1，β=1，
而α=9/4-β=9/4-1=5/4＞1，
故在BC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（5/4，1）所以不符合題意舍去；
即在BC邊上不存在滿足條件的點。
②當點M（α，β）在AC邊上運動時，
由A（1，2），C（1，1），
得a=1，1≤β≤2，
此時β=9/4-α=9/4-1=5/4，
又因為1＜5/4＜2，
故在AC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（1，5/4）；
③當點M（α，β）在AB邊上運動時，
由A（1，2），B（1/2，1），
得1/2≤α≤1，1≤β≤2，
由平面幾何知識得（1-α）/（1-1/2）=（2-β）/（2-1），
于是β=2α，
由β=2α且α+β=9/4
解得α=3/4，β=3/2，
又因為1/2＜3/4＜1，1＜3/2＜2，
故在AB邊上存在滿足條件的點，其坐標為（3/4，3/2）。
綜上所述，當點M（α，β）在△ABC的三條邊上運動時，存在點（1，5/4）和點（3/4，3/2），使p+q=5/4成立。
點評：此題較復(fù)雜，將根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式與動點問題相結(jié)合，體現(xiàn)了運動變化的觀點．由于情況較多，需要分類討論。