Question

如圖，點P在以AB為直徑的半圓內，連AP、BP，并延長分別交半圓于點C、D，連接AD、BC并延長交于點F，作直線PF，下列說法正確的是:

①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③PF⊥AB；④BD⊥AF.
A．①②       B．①④        C．②④       D．③④

Answer 1

D．

試題分析：①∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC垂直BF，但不能得到AC平分BF，
故①錯誤；
②假設AC平分∠BAF，我們有：∠CAB=∠CAF，由①知：AC垂直BF，∴∠ACB=∠ACF=90°，∴∠ACB-∠CAB=∠ACF-∠CAF，即：∠ ABC=∠AFC，從而得到△ABF是等腰三角形。又因為AC垂直BF，根據等腰三角形的三線合一知：AC平分BF，這與①不能得到AC平分BF相矛盾。
故②錯誤；
③∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，∠FPD=90°，
∵三角形的三條高線所在的直線交于一點，
∴FP⊥AB，
故③正確；
④∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AF．
故④正確，
綜上所述只有③④正確，
故選D．