Question

3．如圖，Rt△AOB的頂點O與原點重合，直角頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（4，3），直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于點D、E，交OB于點F．
（1）寫出圖中的全等三角形及理由；
（2）求OF的長．

Answer 1

分析 （1）先求出D、E兩點的坐標，進而可得出OD、OE的長，再由B點坐標可得出OA，AB的長，由此可得出結論；
（2）先根據全等三角形的性質得出∠AOB=∠OED，再由余角的定義得出OF⊥ED，由勾股定理得出ED的長，再由三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）△AOB≌△OED．
理由：∵y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于點D、E，
∴D（3，0），E（0，4），
∴OD=3，OE=4．
∵B（4，3），
∴OA=4，AB=3．
在△AOB與△OED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=OD}\\{∠OAB=∠DOE=90°}\\{OA=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△OED（SAS）；

（2）∵△AOB≌△OED，
∴∠AOB=∠OED．
∵∠AOB+∠EOF=90°，
∴∠OED+∠EOF=90°，
∴∠OFE=90°，
∴OF⊥ED．
在Rt△ODE中，ED=$\sqrt{O{E}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{1}{2}$DE•OF=6，
∴OF=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，熟知一次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．