Question

【題目】如圖，在，，，垂足為，點是邊上的一個動點，連接，過點作，交的延長線于點，連接交于點.

（1）請根據題意補全示意圖；

（2）當與全等時，

①若，，，求的度數；

②試探究，，之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①40°②，，之間的數量關系為：

【解析】

（1）根據垂直畫出圖形即可得出結論；
（2）①先根據兩三角形全等，判斷出AB=DF，進而判斷出BD=DE，再求出∠FDE=60°，進而利用三角形的外角的性質求出∠BDE=80°，進而求出∠DBE=∠BED=50°，即可得出結論；
②分兩種情況：（ I）若BD=DE，先判斷出∠DBE=∠DEB=β，進而得出∠FBG=180°-α-β，進而得出∠FBG=∠DGE，再判斷出FB=FG，即可得出結論；
（ II）若AD=DE，先判斷出DH＞DE，再判斷出∠A=∠BID，進而得出∠BID＞∠C，即：∠A＞∠C，即可判斷出此種情況不成立．

解：（1）如圖即為所求示意圖.

（2）①∵，，

∴.

∵與全等，

∴.

又∵，

∴，

.

在中，

∴.

∵，

∵，

∴.

∴.

∵，

∴.

在中，

.

②，，之間的數量關系為：.

證明：

由①得，.

（Ⅰ）若，

設，，

∵與全等，

∴.

∵，

∴.

∴.

在中，.

∴.

又∵，

∴.

∴.

又∵，

∴.

（Ⅱ）若，

如圖，延長交于，

∵，

∴.

則在線段上存在點，使得.

連接，

∵，

又∵，

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

不符合題意.

綜上所述，，，之間的數量關系為：.