Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，AB=8，點E是射線DC上一個動點(點E與點D不重合)，連接AE，BE，以BE為邊在線段AD的右側作正方形BEFG，連結CG．

（1）當點E在線段DC上時，求證：△BAE≌△BCG；

（2）在（1）的條件下，若CE=2，求CG的長；

（3）連接CF，當△CFG為等腰三角形時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CG=10；（3）當△CFG為等腰三角形時，DE的長為4或8或16．

【解析】

(1)由正方形的性質得出，AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，易證∠ABE=∠CBG，由SAS證得△BAE≌△BCG；
(2)由△BAE≌△BCG，得出AE=CG，DE=CDCE=6，由勾股定理得出，即可得出結果；
(3)①當CG=FG時，易證AE=BE，由HL證得Rt△ADE≌Rt△BCE，得出DE=CE= DC=4；
②當CF=FG時，點E與點C重合，DE=CD=8；
③當CF=CG時，點E與點D重合時，DE=0；
④當CF=CG，點E在DC延長線上時，DE=16．

（1）證明∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，

∴AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，

∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBG﹣∠EBC，即∠ABE=∠CBG，

在△BAE和△BCG中，，

∴△BAE≌△BCG(SAS)；

（2）解：∵△BAE≌△BCG，

∴AE=CG．

∵四邊形ABCD正方形，

∴AB=AD=CD=8，∠D=90°，

∴DE=CD﹣CE=8﹣2=6，

∴AE10，

∴CG=10；

（3）解：①當CG=FG時，如圖1所示：

∵△BAE≌△BCG，

∴AE=CG．

∵四邊形BEFG是正方形，

∴FG=BE，

∴AE=BE，

在Rt△ADE和Rt△BCE中，，

∴Rt△ADE≌Rt△BCE(HL)，

∴DE=CEDC8=4；

②當CF=FG時，如圖2所示：

點E與點C重合，即正方形ABCD和正方形BEFG的一條邊重合，DE=CD=8；

③當CF=CG時，如圖3所示：

點E與點D重合，DE=0；

∵點E與點D不重合，

∴不存在這種情況；

④CF=CG，當點E在DC延長線上時，如圖4所示：

DE=CD+CE=16；

綜上所述：當△CFG為等腰三角形時，DE的長為4或8或16．