Question

【題目】如圖，在由每個邊長為1的小正方形組成的9×9的網格中，點A，B，C都在格點上，點B繞點C逆時針旋轉90°后的對應點為M，已知點B的坐標為(0，﹣2)（坐標軸與網格線平行）．

（1）直接寫出：點C的坐標為　 　，點M的坐標為　 　；

（2）若平面內存在一點P，且P為△ACM的外心，直接寫出點P的坐標是　 　；

（3）CN平分∠BCM交y軸于點N，則N點坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，2），（1，5）；（2）（，0）；（3）(0，)

【解析】

（1）先建立直角坐標系，作出圖形，構造全等三角形，即可得出結論；

（2）先判斷出PA＝PC，再判斷出點P的縱坐標為0，利用PA＝PM建立方程求解即可得出結論；

（3）利用角平分線的特點構造出等腰三角形求出MF，進而求出直線CF的解析式，即可得出結論．

解：（1）建立如圖1所示的平面坐標系，

由網格知，A（﹣3，-2），C（﹣3，2），

∴AC⊥x軸，AC＝4，

∵B（0,-2），

∴AB＝3，

過點M作AC的垂線交AC于D，

∴∠CDM＝∠BAC＝90°，

∴∠DCM+CMD＝90°，

由旋轉知，BC＝MC，∠BCM＝90°，

∴∠ACB+∠DCM＝90°，

∴∠ACB＝∠DMC，

∴△ABC≌△DCM（AAS），

∴DM＝AC＝4，CD＝AB＝3，

∴AD＝AC+CD＝7．

∴M（1，5），

故答案為（﹣3，2），（1，5）；

（2）由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），

設點P的坐標為（m，n）

∵點P是△ACM的外接圓的圓心，

∴點P到點A，C，M的距離相等，

由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），

∴n＝0，

∴P（m，0），

而PA＝ ，

∴m＝ ，

∴P（，0），

故答案為（，0）；

（3）如圖3，

過點M作MF∥AC交CN于F，

∴∠CFM＝∠ACN，

∵CN是∠ACM的角平分線

∴∠ACN＝∠MCN，

∴∠MCN＝∠CFN，

∴MF＝CM，

而CM＝

∴MF＝5，

∴F（1,0），

∵C（﹣3,2），

設直線CF的解析式為 ，

將F,C代入得

解得

∴直線CF的解析式為

令x＝0，則y＝ ，

∴N（）．

故答案為（）．