Question

【題目】若一個矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形．

（1）設a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）．
（2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連結兩邊對應的等分點，以這些連結線為一邊作矩形，使這些矩形的邊B1C1 ， B2C2 ， B3C3 ， B4C4的對邊分別在B2C2 ， B3C3 ， B4C4 ， BC上，如圖2所示．
①若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形？為什么？
②若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：答案不唯一，如a=2，b=4

（2）

解：①以B1C1為一邊的矩形不是方形．

理由是：過A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，則AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，

∵由矩形的性質得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，

∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，

∴ = ， = ， = ， = = ，

∵AM=20，BC=25，

∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，

∴MN=GN=GH=HE=4，

∴B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，

即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，

∴以B1C1為一邊的矩形不是方形；

②∵以B3C3為一邊的矩形為方形，設AM=h，

∴△ABC∽△AB3C3，

∴ = ，

則AG= h，

∴MN=GN=GH=HE= h，

當B3C3=2× h時， = = ；

當B3C3= × h時， = = ．

綜合上述：BC與BC邊上的高之比是 或 ．

【解析】（1）答案不唯一，根據已知舉出即可；（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4 ， 推出 = ， = ， = ， = = ，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，根據已知判斷即可；
②設AM=h，根據△ABC∽△AB3C3 ， 得出 = ，求出MN=GN=GH=HE= h，分為兩種情況：當B3C3=2× h時，當B3C3= × h時，代入求出即可．