Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的中點為O，點G，H在對角線AC上，AG＝CH，直線GH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角，與邊AB、CD分別相交于點E、F（點E不與點A、B重合）．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AE＝5．

【解析】

（1）由“ASA”可證△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可證四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）由題意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的長．

證明：（1）∵對角線AC的中點為O

∴AO＝CO，且AG＝CH

∴GO＝HO

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB

∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA

∴△COF≌△AOE（ASA）

∴FO＝EO，且GO＝HO

∴四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）如圖，連接CE

∵∠α＝90°，

∴EF⊥AC，且AO＝CO

∴EF是AC的垂直平分線，

∴AE＝CE，

在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，

∴AE2＝（9﹣AE）2+9，

∴AE＝5