Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？

（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）點P（4，6）．

【解析】（1）利用待定系數法進行求解即可得；

（2）作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM，先求出直線AB解析式為y=﹣x+6，設P（t，﹣t2+2t+6），則N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PNAG+PNBM=PNOB列出關于t的函數表達式，利用二次函數的性質求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，據此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，結合∠DPE=90°知若△PDE為等腰直角三角形，則∠EDP=45°，從而得出點E與點A重合，求出y=6時x的值即可得出答案．

（1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0），

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），

將點A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣，

所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；

（2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G，

設直線AB解析式為y=kx+b，

將點A（0，6）、B（6，0）代入，得：

，

解得：，

則直線AB解析式為y=﹣x+6，

設P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，

則N（t，﹣t+6），

∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

=PNAG+PNBM

=PN（AG+BM）

=PNOB

=×（﹣t2+3t）×6

=﹣t2+9t

=﹣（t﹣3）2+，

∴當t=3時，△PAB的面積有最大值；

（3）如圖2，

∵PH⊥OB于H，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH∥AO，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE∥x軸、PD⊥x軸，

∴∠DPE=90°，

若△PDE為等腰直角三角形，

則∠EDP=45°，

∴∠EDP與∠BDH互為對頂角，即點E與點A重合，

則當y=6時，﹣x2+2x+6=6，

解得：x=0（舍）或x=4，

即點P（4，6）．