Question

【題目】如圖，與均為等腰直角三角形，

（1）如圖1，點在上，點與重合，為線段的中點，則線段與的數量關系是 ，與的位置是 ．

（2）如圖2，在圖1的基礎上，將繞點順時針旋轉到如圖2的位置，其中在一條直線上，為線段的中點，則線段與是否存在某種確定的數量關系和位置關系？證明你的結論．

（3）若繞點旋轉任意一個角度到如圖3的位置，為線段的中點，連接、，請你完成圖3，猜想線段與的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）EF=FC，EF⊥FC；（2）EF=FC，EF⊥FC，證明見解析；（3）EF=FC，EF⊥FC，證明見解析；

【解析】

（1）根據已知得出△EFC是等腰直角三角形即可．
（2）延長線段CF到M，使FM=CF，連接DM、ME、EC，利用SAS證△BFC≌△DFM，進而可以證明△MDE≌△CAE，即可得證；
（3）延長線段CF到M，使FM=CF，連接DM、ME、EC，利用SAS證△BFC≌△DFM，進而可以證明△MDE≌△CAE，即可得證；．

解：（1）∵與均為等腰直角三角形，

∴，

∴BE=EC

∵為線段的中點，

；

故答案為：EF=FC，EF⊥FC
（2）存在EF=FC，EF⊥FC，證明如下：

延長CF到M，使FM=CF，連接DM、ME、EC

∵為線段的中點，

∴DF=FB，

∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，
∴△BFC≌△DFM，
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∴∠MDC=∠ACB=90°

∴∠MDE=∠EAC=135°，

∵ED=EA，

∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F為CM的中點，
∴EF=FC，EF⊥FC；

（3）EF=FC，EF⊥FC．

證明如下：

如圖4，延長CF到M，使CF=FM，連接ME、EC，連接DM交延長交AE于G，交AC于H，

∵F為BD中點，
∴DF=FB，
在△BCF和△DFM中

∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，span>HD∥BC，
∴∠AHG=∠BCA=90°，且∠AGH=∠DGE，
∴∠MDE=∠EAC，

在△MDE和△CAE中

∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F為CM的中點，
∴EF=FC，EF⊥FC．