Question

（1999•哈爾濱）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點O，以直線O₁O₂為x軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．在x軸上方的兩圓的外公切線AB與⊙O₁相切于點A，與⊙O₂相切于點B，直線AB交y軸于點c，若OA=3，OB=3．
（1）求經過O₁、C、O₂三點的拋物線的解析式；
（2）設直線y=kx+m與（1）中的拋物線交于M、N兩點，若線段MN被y軸平分，求k的值；
（3）在（2）的條件下，點D在y軸負半軸上．當點D的坐標為何值時，四邊形MDNC是矩形？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于CO、AB都是兩圓的切線，根據切線長定理可求得OC=AC=BC，即可得到∠AOB=90°，在Rt△AOB中，根據勾股定理可求出AB的長，進而可得到OC的值，即C點的坐標；連接HA，證△HAO∽△AOB，通過相似三角形得到的比例線段即可求出OH的長，由此可求得O₁的坐標，同理可求出O₂的坐標，進而可用待定系數求出拋物線的解析式；
（2）過M、N分別作y軸的垂線，設垂足為E、F，若MN被y軸平分，那么MP=PN，可證得△MPE≌△NPF，由此得到M、N的橫坐標互為相反數，即兩者的和為0；可聯立直線與拋物線的解析式，可得到關于x的一元二次方程，那么M、N兩點的橫坐標即為方程的兩個根，已求得兩根的和為0，可根據韋達定理求出k的值；
（3）根據M、N的坐標可求出MN的長，若四邊形MDNC是矩形，那么對角線MN、CD相等且互相平分，則PC=12MN，由此可求出待定系數m的值，進而可求出PC、PD的長，也就能得到D點的坐標．
解答：解：（1）如圖，
連接HA，BK．
∵AB、OC是兩圓的公切線，
∴OC=AC=BC；
∴∠AOB=90°，
∴AB==6
∴OC=3
∴C（0，3）；（1分）
∵HO是⊙O₁的直徑，
∴∠HAO=∠AOB=90°；
∵AB是⊙O₁的切線，
∴∠BAO=∠OHA，
∴△AOH∽△OBA，
∴
∴
∴
∴O1的坐標是（-3，0）（1分）
設經過O₁、C、O₂三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c；
∴由c=3，0=27a-3，0=3a+b+c
可得a=-，b=-，c=3
∴；（2分）

（2）設直線y=kx+m與y軸交于點P（0，m），交拋物線于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
分別由M、N向y軸引垂線，垂足為E、F；
∵MP=NP，∠MPE=∠NPF，∠MEP=∠NFP=90°，
∴△MPE≌△NPF，
∴ME=NF，即|x₁|=|x₂|；
又∵M、N在y軸兩側，
∴x₁、x₂異號，
∴x₁+x₂=0；（1分）
設
消去y并整理，得x²+（3k+2）x+3（m-3）=0
∴
∵x₁+x₂=0
∴
∴（1分）

（3）過M作NF的垂線，交NF的延長線于G．
則NG=|x₁-x₂|==
MG=|y₁-y₂|=|k（x₁-x₂）|==
∴MN²=NC2+MG²=28（3-m），
∴（1分）
∵四邊形MDNC是矩形，
∴
又∵PC=|3-m|，
∴
∴m²+m-12=0，
∴m=-4或m=3（舍去，
∵點D在y軸負半軸上）；（2分）
∴PC=7，
∴PD=7；
∴OD=OP+PD=11，
∴D（0，-11）；
即當點D的坐標為（0，-11）時，四邊形MDNC為矩形．（1分）
點評：此題主要考查了相切兩圓的性質，切線長定理，直角三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質，以及矩形的判定等，綜合性強，難度較大．