Question

（1999•哈爾濱）已知：如圖，在平面直角坐標系中，以點A（4，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸于點B．設M為x軸上方的圓長交y軸于點D．
（1）當點P在弧OM上運動時，設PC=x，=y，求y與x之間的函數關系式及自變量的取值范圍；
（2）當點P運動到某一位置時，恰使OB=3OD，求此時AC所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長PA交⊙A于E，連接OE，根據圓的相關性質，構造相似比，可求一次函數關系式；
（2）已知A點坐標，再運用勾股定理求OC的長，從而可求C點坐標，利用“兩點法”求一次函數解析式．
解答：解：（1）延長PA交⊙A于E，連接OE，
∵AO=AE，
∴∠BOE=∠E．
又∵∠PBO=∠E，
∴∠BOE=∠PBO，
∴DB∥OE，
∴
又∵，PC=x，PE=2OA=8，CE=CP+PE=x+8
∴，即y=x+1（2分）
當點P運動到點M時，連接AM并延長交y軸于點F，設∠OAM=n°，
∴n=60，即∠OAM=60°．
∵OC⊥OB，∴AF=2OA=8，∴MF=4，∴x≤4，
即0＜x≤4．

（2）當P運動到恰使OB=3OD時，即OD=OB=
∵
∴
在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²，
∵（1分）
整理的x²+7x-8=0
∴x₁=1，x₂=-8（舍去）
∴OC=3
∴C（0，3）（2分）
設過A、C兩點的直線解析式為y=kx+b，
∴∴
∴直線AC的解析式為y=-（2分）
點評：本題考查了相似三角形的性質，待定系數法求一次函數解析式的方法．