Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B，與y軸交于點C（0，2），直線經過點A，C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為直線AC上方拋物線上一動點；

①連接PO，交AC于點E，求的最大值；

②過點P作PF⊥AC，垂足為點F，連接PC，是否存在點P，使△PFC中的一個角等于∠CAB的2倍？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①有最大值1；②（2，3）或（，）

【解析】

（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A，C點坐標，根據代定系數法，可得函數解析式；

（2）①根據相似三角形的判定與性質，可得，根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

②根據勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點D，求得D（，0），得到DA=DC=DB=，過P作x軸的平行線交y軸于R，交AC于G，情況一：如圖，∠PCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情況二，∠FPC=2∠BAC，解直角三角形即可得到結論．

（1）當x=0時，y=2，即C（0，2），

當y=0時，x=4，即A（4，0），

將A，C點坐標代入函數解析式，得

，

解得，

拋物線的解析是為；

（2）過點P向x軸做垂線，交直線AC于點M，交x軸于點N

，

∵直線PN∥y軸，

∴△PEM～△OEC，

∴

把x=0代入y=-x+2，得y=2，即OC=2，

設點P（x，-x2+x+2），則點M（x，-x+2），

∴PM=（-x2+x+2）-（-x+2）=-x2+2x=-（x-2）2+2，

∴=，

∵0＜x＜4，∴當x=2時，=有最大值1．

②∵A（4，0），B（-1，0），C（0，2），

∴AC=2，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點D，

∴D（，0），

∴DA=DC=DB=，

∴∠CDO=2∠BAC，

∴tan∠CDO=tan（2∠BAC）=，

過P作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，

情況一：如圖

，

∴∠PCF=2∠BAC=∠PGC+∠CPG，

∴∠CPG=∠BAC，

∴tan∠CPG=tan∠BAC=，

即，

令P（a，-a2+a+2），

∴PR=a，RC=-a2+a，

∴，

∴a1=0（舍去），a2=2，

∴xP=2，-a2+a+2=3，P（2，3）

情況二，∴∠FPC=2∠BAC，

∴tan∠FPC=，

設FC=4k，

∴PF=3k，PC=5k，

∵tan∠PGC=，

∴FG=6k，

∴CG=2k，PG=3k，

∴RC=k，RG=k，PR=3k-k=k，

∴，

∴a1=0（舍去），a2=，

xP=，-a2+a+2=，即P（，），

綜上所述：P點坐標是（2，3）或（，）．