Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝72°，過點A作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，BD交AC于點E，交⊙O于點F，連接AF．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）已知BC＝2，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接AO，OB，求出∠OAD＝90°即可；

（2）證得△AEF≌△BCE，得出EF＝CE，設EF＝EC＝x，則AC＝2+x，證得△ABC∽△BEC，根據相似三角形的性質得出關于x的方程，解方程即可．

（1）證明：連接AO、BO、CO，

∵AB＝AC，∠ABC＝72°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°，

∴∠BAC＝36°，

在△ABO和△ACO中

，

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠OAC＝∠BAC＝18°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝72°，

∴∠OAD＝∠OAC+∠DAC＝18°+72°＝90°，

∴AD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠BAC＝∠ABD＝36°，

∴AE＝BE，

∵∠DBC＝36°∠ACB＝72°，

∴∠BEC＝72°，

∴BE＝BC＝2，

∴AE＝BC，

在△BCE和△AFE中

，

∴△AEF≌△BCE（AAS），

∴EF＝CE，

設EF＝EC＝x，則AC＝2+x，

∵∠ABC＝∠BEC＝72°，∠ACB＝∠BCE，

∴△ABC∽△BEC，

∴＝，即＝，

解得x＝﹣1或﹣1﹣（舍去），

∴EF＝﹣1．

故答案為：（1）詳見解析；（2）.