Question

【題目】如圖（1），點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都是1cm/s

（1）設運動時間是t，則當t=__________s時，△PBQ是直角三角形．

（2）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；

（3）如圖（2），若P，Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）不變，60°；（3）不變，120°

【解析】

（1）由題意得出AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況進行求解；

（2）根據等邊三角形的性質證明，即可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質可證得∠CMQ＝60°；

（3）通過證明△PBC≌△QCA得出，利用三角形的內角和定理得出，進而求解．

解：（1）∵運動時間為ts，則AP＝BQ＝t，

∴PB＝4﹣t，

當∠PQB＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，

∴4﹣t＝2t，

解得，t＝，

當∠BPQ＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2PB，

∴，

解得，t＝，

∴當t為s或s 時，△PBQ為直角三角形；

故答案為：或；

（2）不變，，

正△ABC中，，，，

，

，

，

∴在P、Q運動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ＝60°；

（3）不變，，

在正△ABC中，，，

，又由條件得，

∴△PBC≌△QCA（SAS），

，

又，

．

∴在P、Q運動的過程中，∠CMQ的大小不變，∠CMQ＝120°．