Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（6，0），在B在y軸的正半軸上，且S△AOB=24．
（1）求點B坐標；
（2）若點P從B出發沿y軸負半軸運動，速度每秒2個單位，運動時間t秒，△AOP的面積為S，求S與t的關系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若S△AOP：S△ABP=1：3，且S△AOP+S△ABP=S△AOB ， 在線段AB的垂直平分線上是否存在點Q，使得△AOQ的面積與△BPQ的面積相等？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵點A坐標為（6，0），
∴OA=6，
∴S△AOB=×OA×OB=24，
則OB=8，
∴點B坐標為（0，8）；
（2）當0≤t＜4時，S=×（8﹣2t）×6=24﹣6t，
當t≥4時，S=×（2t﹣8）×6=6t﹣24；
（3）∵S△AOP+S△ABP=S△AOB ，
∴點P在線段OB上，
∵S△AOP：S△ABP=1：3，
∴OP：BP=1：3，
又∵OB=8，
∴OP=2，BP=6，
線段AB的垂直平分線上交OB于E，交AB于F，
∵OB=8，OA=6，
∴AB==10，
則點F的坐標為（3，4），
∵EF⊥AB，∠AOB=90°，
∴△BEF∽△BAO，
∴=，即=，
解得，BE=，
則OE=8﹣=，
∴點E的坐標為（0，），
設直線EF的解析式為y=kx+b，
則，
解得，k=，b=，
∴直線EF的解析式為y=x+，
∵△AOQ的面積與△BPQ的面積相等，又OA=BP，
∴x=y，或x=﹣y，
當x=y時，x=x+，解得，x=7，
則Q點坐標為（7，7）；
當x=﹣y時，﹣x=x+，解得，x=﹣1，
則Q點坐標為（﹣1，1），
∴Q點坐標為（7，7）或（﹣1，1）．

【解析】（1）根據三角形的面積公式求出OB的長即可；
（2）分0≤t＜4和t≥4兩種情況，根據三角形面積公式計算即可；
（3）根據題意和三角形的面積公式求出OP、BP的長，根據相似三角形的性質求出點E的坐標，根據中點的性質確定點F的坐標，運用待定系數法求出直線ef的解析式，根據等底的兩個三角形面積相等，它們的高也相等分x=y和x=﹣y兩種情況計算即可．