Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度均為1cm/s．以AQ、PQ為邊作AQPD，連接DQ，交AB于點E．設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤6）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，AQPD為矩形．

（2）當t為何值時，AQPD為菱形．

（3）是否存在某一時刻t，使四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積，若存在，請求出t值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 當t=時，AQPD是矩形；(2) 當t=時，□AQPD是菱形；(3)

【解析】

（1）利用矩形的性質得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形對應邊的比相等列出比例式即可求得t值；

（2）利用菱形的對角線相互垂直平分解答；

（3）過點P作PM⊥AC于M．先表示出△APQ的面積和S四邊形PQCB=S△ABC﹣S△APQ，進而建立方程即可得出結論．

解：（1）如圖2，當AQPD是矩形時，PQ⊥AC，

∴PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC

∴=，

由運動知，QA=t，BP=t，

∴AP=AB﹣BP=12﹣t，

即，=,

解之 t=，

∴當t=時，AQPD是矩形；

（2）當AQPD是菱形時，DQ⊥AP，AE=AP

則 cos∠BAC==，

由運動知，QA=t，BP=t，

∴AP=AB﹣BP=12﹣t，AE=6﹣t，

∴

解之 t=，

所以當t=時，□AQPD是菱形；

（3）存在時間t，使四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積．

在Rt△ABC中，根據勾股定理得，BC=4，

如圖3，過點P作PM⊥AC于M．

則=，

即=，

故PM=（12﹣t）．

∴S△APQ=AQ×PM=×t×（12﹣t），

∴S四邊形PQCB=S△ABC﹣S△APQ=×4×8﹣×t×（12﹣t），

∵四邊形AQPD的面積等于四邊形PQCB的面積，

∴2××t×（12﹣t）=×4×8﹣×t×（12﹣t），

∴t= （舍）或t=.