Question

【題目】如圖①，在中，，，D是BC的中點．

小明對圖①進行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB．將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉，點B的對應點是點E，連接BE，得到．小明發現，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側．請你幫助小明繼續探究，并解答下列問題：

（1）當點E在直線AD上時，如圖②所示．

① ；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關系是 ．

（2）請在圖③中畫出，使點E在直線AD的右側，連接CE．試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并說明理由．

（3）當點P在線段AD上運動時，求AE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．

【解析】

（1）①利用等腰三角形的性質即可解決問題．②證明，，推出即可．

（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．利用圓周角定理證明即可解決問題．

（3）因為點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，所以當點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值．

（1）①如圖②中，

∵，，

∴，

②結論：．

理由：∵，，

∴，

∴，

∴，

∵AE垂直平分線段BC，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案為50，．

（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．

∵AD垂直平分線段BC，

∴，

∴，

∵，

∴ ．

（3）如圖④中，作于H，

∵點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，

∴當點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值．