Question

【題目】閱讀下列材料，并解決后面的問題．

材料：對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾（J．Npler，1550-1617年），納皮爾發明對數是在指數書寫方式之前，直到18世紀瑞士數學家歐拉（Evler，1707-1783）才發現指數與對數之間的聯系．我們知道，n個相同的因數a相乘記為，如，此時，3叫做以2為底8的對數，記為，即．

一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數，記為，即．如，則4叫做以3為底81的對數，記為，即．

（1）計算下列各對數的值：________，________，________；

（2）通過觀察（1）中三數、、之間滿足的關系式是________；

（3）拓展延伸；下面這個一般性的結論成立嗎？我們來證明

（且，，）

證明：設，，

由對數的定義得：，，

∴，

∴，

又∵，，

∴（且，，）.

（4）仿照（3）的證明，你能證明下面的一般性結論嗎？

（且，，）.

（5）計算：的值為________________.

Answer 1

【答案】(1) 2，4，6;(2) +=;(4)證明見詳解；（5）1

【解析】

（1）根據題意可以把指數式、、 可計算相應對數的值；

（2）由2+4=6，，，可得+=；

（4）設=m，=n，則M=，N=，得出= ，由對數的定義得m-n=，即可證明結論；

（5）根據得出的對數的性質，得=，再進行計算即可解答本題.

解：（1）∵

∴

∵

∴

∵

∴

故答案填 :2，4，6

（2）∵2+4=6，，，

∴+=

故答案填：+=

（4）設，，則，

，

由對數的定義得

又

∴

（5）原式=

=

=1

故答案填:1