Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為ts，四邊形APQC的面積為ycm2 ．

(1)當t為何值時，△PBQ是直角三角形?

(2)①求y與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

②當t為何值時，y取得最小值？最小值為多少？

(3)設PQ的長為xcm，試求y與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）當t＝或時，△PBQ是直角三角形；（2）①y＝8－（0≤t≤4），②當t＝2時，y取得最小值，最小值是；（3）y．

【解析】

試題（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°兩種情況討論即可；

（2）根據三角形的面積公式列式y＝S△ABC－S△BPQ即得函數關系式，根據二次函數最值原理即可得出y取得最小值時t的值和y的最小值；

（3）把t2－4 t＝代入y＝8－化簡即可.

試題解析：（1）當t＝或時，△PBQ是直角三角形，理由如下：

∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，

∴①當∠PQB＝90°時，由得：t ＝4－t，解得：t＝；

②當∠QPB＝90°時，由得：，解得：t＝.

∴當t＝或時，△PBQ是直角三角形.

（2）①過P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t，PH＝，

∴S△BPQ＝，

∴y＝S△ABC－S△BPQ＝8－.

由題意可知：0≤t≤4.

②y＝8－＝，

∴當t＝2時，y取得最小值，最小值是．

（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，

由PQ2＝ PH2＋HQ2，則x2＝〔（4－t）〕2＋〔（4－t）－t〕2

化簡得：x2＝（2＋）t 2－4（2＋）t＋16，∴ t2－4 t＝.

將t2－4t＝代入y＝8－，得y＝8＋·．