Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標是（8，4），連接AC，BC．

（1）求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

（2）動點P從點O出發，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，PA=QA？

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），直角三角形；（2）；（3）M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形；

（2）根據運動表示出OP=2t，CQ=10﹣t，判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；

（3）分三種情況用平面坐標系內，兩點間的距離公式計算即可．

試題解析：（1）∵直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，∴A（5，0），B（0，10），∵拋物線過原點，∴設拋物線解析式為，∵拋物線過點B（0，10），C（8，4），∴，∴，∴拋物線解析式為，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴==125，==100，==25，∴，∴△ABC是直角三角形．

（2）如圖1，當P，Q運動t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t時，由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，∵AC=OA，PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，∴2t=10﹣t，∴t=，∴當運動時間為時，PA=QA；

（3）存在，∵，∴拋物線的對稱軸為x=，∵A（5，0），B（0，10），∴AB=

設點M（，m）；

①若BM=BA時，∴，∴m1=，m2=，∴M1（，），M2（，）；

②若AM=AB時，∴，∴m3=，m4=，∴M3（，），M4（，）；

③若MA=MB時，∴，∴m=5，∴M（，5），此時點M恰好是線段AB的中點，構不成三角形，舍去；

∴點M的坐標為：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．