Question

【題目】在直角坐標系xOy中，已知點P是反比例函數y＝(x＞0)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．

(1)如圖1，當⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由；

(2)如圖2，當⊙P運動到與x軸相交，設交點為點B、C．當四邊形ABCP是菱形時，求出點A、B、C的坐標；

(3)在(2)的條件下，求出經過A、B、C三點的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】(1)四邊形OKPA是正方形，理由見解析；(2)A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；(3)y＝x2﹣x+．

【解析】

（1）先證明四邊形OKPA是矩形，又PA＝PK，故可得四邊形OKPA是正方形；

（2）證明△PBC為等邊三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，設PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝，所以P（a，），將P點坐標代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四邊形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求解；

（3）設二次函數的解析式為：y＝ax2+bx+c，將（2）中三點坐標分別代入，利用待定系數法進行求解即可.

(1)四邊形OKPA是正方形，

理由：∵⊙P分別與兩坐標軸相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK，

∴∠PAO＝∠OKP＝90°，

又∵∠AOK＝90°，

∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°，

∴四邊形OKPA是矩形，

又∵PA＝PK，

∴四邊形OKPA是正方形；

(2)連接PB，過點P作PG⊥BC于G，

∵四邊形ABCP為菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC，

∴△PBC為等邊三角形，

在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，

設PB＝PA＝a，BG＝，

由勾股定理得：PG＝，

所以P(a，)，將P點坐標代入y＝，

解得：a＝2或﹣2(舍去負值)，

∴PG＝，PA＝BC＝2，

又四邊形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，

∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．

∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；

(3)二次函數的解析式為：y＝ax2+bx+c，

根據題意得：，

解得：，

∴二次函數的解析式為：y＝x2﹣x+．