Question

【題目】王華在學習相似三角形時，在北京市義務教育課程改革實驗教材第17冊書，第31頁遇到這樣一道題：
如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，聯結CP．

要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是__，或__．
（1）王華補充的條件是 ， 或 ．
（2）請你參考上面的圖形和結論，探究、解答下面的問題：
如圖2，在△ABC中，∠A=30°，AC2= AB2+AB．BC．
求∠C的度數．

Answer 1

【答案】
（1）∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）,或AC2=AP?AB
（2）解：延長AB到點D，使BD=BC，連接CD，如圖所示：

∵AC2=AB2+ABBC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=ABAD，

∴ ，

又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，

∴∠ACB=∠D，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，

∴3∠ACB+30°=180°，

∴∠ACB=50°

【解析】解：（1）王華補充的條件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=APAB；理由如下：

∵∠A=∠A，

∴當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或 ，即AC2=APAB時，△ACP∽△ABC；

【考點精析】利用三角形的內角和外角和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．