Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，的直角項點在軸的正半軸上，頂點的縱坐標為，,.點是斜邊上的一個動點，則的周長的最小值為___________.

Answer 1

【答案】+2

【解析】

由題意AB=3，則中，AB=OB，可得∠AOB=30°，根據勾股定理求出OA，作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據勾股定理求出CD，即可得出答案．

解：作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，

∵A、D關于OB對稱，

∴OB垂直平分AD，

∴DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵頂點B的縱坐標為3， ，
∴AB=3，OA= =3，∠BOA=30°，∠B=60°，

由三角形面積公式得：×OA×AB=×OB×AM，
即：×3×3=×6×AM
解得：AM=，
∴AD=2×=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴DN∥AB，
∴∠NDA=∠BAM=30°，
∴AN=AD=，
由勾股定理得：DN==，
∵OC=AC，
∴OC=，AC=2，
∴CN=AC-AN=2-=，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC===，
即PA+PC的最小值是，
∴△PAC周長的最小值為：+2．
故答案為：+2．