Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為弦，D為的中點(diǎn)，AC，BD相交于E點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BD的延長線于P點(diǎn)．

（1）求證：∠PAC=2∠CBE；

（2）若PD=m，∠CBE=α，請寫出求線段CE長的思路．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2）思路見解析.

【解析】（1）證明：∵D為的中點(diǎn)

，

∴∠CBA=2∠CBE．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠1+∠CBA=90°．

∴∠1+2∠CBE =90°．

∵AP是⊙O的切線，

∴∠PAB=∠1+∠PAC=90°．

∴∠PAC =2∠CBE．

（2）思路：①連接AD，由D是的中點(diǎn)，∠2=∠CBE，

由∠ACB=∠PAB=90°，得∠P=∠3=∠4，故AP=AE；

②由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°；由AP=AE，

得PE=2PD=2m，∠5=∠PAC =∠CBE=

③在Rt△PAD中，由PD=m，∠5= ，可求PA的長；

④在Rt△PAB中，由PA的長和∠2= ，可求BP的長；

由可求BE的長；

⑤在Rt△BCE中，由BE的長和，可求CE的長．