Question

【題目】如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG、AE．

（1）求證：BG=AE；

（2）將正方形DEFG繞點D旋轉，當線段EG經過點A時，（如圖②所示）

①求證：BG⊥GE；

②設DG與AB交于點M，若AG=6，AE=8，求DM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②DM=，

【解析】試題分析：（1）如圖①，根據等腰直角三角形的性質得AD=BD，再根據正方形的性質得∠GDE=90°，DG=DE，則可根據“SAS“判斷△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如圖②，先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，則可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②由AG=6，則AE=8，即GE=14，利用等腰直角三角形的性質得DG=GE=7 ，由（1）的結論得BG=AE=8，則根據勾股定理得AB=10，接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=5，然后證明△DBM∽△DGB，則利用相似比可計算出DM；

試題解析：

（1）證明：如圖①，

∵AD為等腰直角△ABC的高，

∴AD=BD，

∵四邊形DEFG為正方形，

∴∠GDE=90°，DG=DE，

在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE，

∴BG=AE；

（2）①證明：如圖②，

∵四邊形DEFG為正方形，

∴△DEG為等腰直角三角形，

∴∠1=∠2=45°，

由（1）得△BDG≌△ADE，

∴∠3=∠2=45°，

∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，

∴BG⊥GE；

②解：∵AG=6，則AE=8，即GE=14，

∴DG=GE=7，

∵△BDG≌△ADE，

∴BG=AE=8，

在Rt△BGA中，AB==10，

∵△ABD為等腰直角三角形，

∴∠4=45°，BD=AB=5，

∴∠3=∠4，

而∠BDM=∠GDB，

∴△DBM∽△DGB，

∴BD：DG=DM：BD，即 5：7=DM：5，

∴DM=，